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语义悖论溯因——以“说谎者”悖论为例
2022年05月24日 07:32 来源:中国社会科学网-中国社会科学报 作者:尹嘉 杨武金 字号
2022年05月24日 07:32
来源:中国社会科学网-中国社会科学报 作者:尹嘉 杨武金
关键词:悖论;语法;哲学;

内容摘要:语义悖论则是涉及真、假、指称、满足、定义等语义概念的悖论。作为最古老的语义悖论,“说谎者悖论”可以追溯到公元前6世纪古希腊哲学家伊匹门尼德。“说谎者”悖论是最基本、最典型的语义悖论,因为其形式最简单明了,且绝大多数语义悖论都具有与“说谎者”悖论相似的结构。解决了“说谎者”悖论相关问题,也就解决了关于语义悖论的绝大多数问题。经典的说谎者语句是指具有如下形式的自指语句:“L:L是假的”,即语句L声称自身是假的。最后,也是最重要的,即使我们全面禁止了语言中的自指和循环指称,但只要我们的语言丰富到足以谈论初等算术,通过哥德尔编码法,我们依然可以构造出类似“说谎者”悖论的语句。

关键词:悖论;语法;哲学;

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  悖论是指根据明显为真的前提,通过明显有效的推理,得出明显矛盾的推论过程或现象。语义悖论则是涉及真、假、指称、满足、定义等语义概念的悖论。作为最古老的语义悖论,“说谎者悖论”可以追溯到公元前6世纪古希腊哲学家伊匹门尼德。其最初形式是:身为克里特人的伊匹门尼德声称“所有克里特人都说谎”。后来,这一悖论又被简化为:一个人声称“我正在说谎”。“说谎者”悖论是最基本、最典型的语义悖论,因为其形式最简单明了,且绝大多数语义悖论都具有与“说谎者”悖论相似的结构。解决了“说谎者”悖论相关问题,也就解决了关于语义悖论的绝大多数问题。

  在逻辑史上,以“说谎者”悖论为代表的语义悖论充斥着争议,也备受逻辑学家们重视。为了解决它,逻辑学家们基于各自立场,提出许多不同解决方案。然而时至今日,我们仍然没找到能够被普遍接受的方案。所幸的是,19世纪末到20世纪初,现代逻辑学和数学基础理论研究取得重大进展,这使人们得以更严格、更科学地讨论语义悖论问题。根据现代逻辑的重要成果,特别是哥德尔在证明其“第一不完全性定理”过程中所使用的“对角线引理”,以及塔尔斯基的“(算术真理的)不可定义性定理”,我们有能力找出语义悖论产生的根本原因。基于此,我们认为,语法丰富性、朴素真理论和经典逻辑结合在一起就会导致不一致。这就是说,这三者中至少有一个是有问题的,必须将其放弃或进行修改。任何一个试图真正解决语义悖论的方案,都需要面对这一结论作出取舍,并给出相应回答。

  经典的说谎者语句是指具有如下形式的自指语句:“L:L是假的”,即语句L声称自身是假的。如果要考虑L的真假,就会陷入两难:如果L是真的,那么“L是假的”这句话就是真的,从而L是假的,矛盾;如果L是假的,则“L是假的”这句话就是真的,从而L是真的,矛盾。我们从L是真的推出了L是假的;又从L是假的推出了L是真的。在经典逻辑中,根据排中律,每一个语句或真或假;而根据爆炸性原则(矛盾推出一切),每一个语句不能既真又假,因为“矛盾推出一切”。但按照上述推理,无论L的取值是真是假,我们都会推出L既真又假,显然矛盾。

  除直接自指的情况,“说谎者”悖论还有循环指称的形式。例如,柏拉图:“亚里士多德的断言是真的。”亚里士多德:“柏拉图的断言是假的。”我们假设柏拉图的断言是真的,而柏拉图断言“亚里士多德的断言是真的”,那么,亚里士多德的断言是真的;但是亚里士多德断言“柏拉图的断言是假的”,那么,柏拉图的断言是假的。我们由“柏拉图的断言是真的”推出了“柏拉图的断言是假的”,矛盾。反之,我们由“柏拉图的断言是假的”推出了“柏拉图的断言是真的”,矛盾。类似这样的对话,通常被称为说谎者循环,这一指称链条可以足够长,最终构成一个封闭的循环。

  由于语义悖论在形式上通常与自指和循环指称有关,有一种观点就认为,为了避免悖论,必须全面禁止自指和循环指称的使用。我们认为,这一想法过于简单化,并不能从根本上解决语义悖论问题。首先,自指和循环指称在我们的语言中是很普遍的现象,并不是所有含有自指或循环指称的语句都会导致矛盾。例如,某个人向其他人保证,“我说的都是真的”;或者辩论的双方指责对方,“你的观点是错误的”。另外,像“本文”“本书”这样的自指语词,在我们的语言中再正常不过了。如果全面禁止自指和循环指称,会导致我们的语言过于贫乏。其次,某些语句成为自指语句可能依赖于某些偶然的经验事实。例如,老师让教室里的每个人说一句话,然后判断语句的真假。其中一个人说:“这个教室里智商最低的人说的话是假的。”然而不幸的是,这个说话者恰好是教室里智商最低的人。也就是说,他断言了自己说的话为假。对于这一类语句,我们似乎没有理由将它禁止,因为该语句在其他语境之下完全可以是正常的语句。再次,某些悖论的形成过程并不涉及自指或循环指称,最典型的例子是亚布罗悖论,构成这一悖论的语句并没有直接或间接地谈论自身。最后,也是最重要的,即使我们全面禁止了语言中的自指和循环指称,但只要我们的语言丰富到足以谈论初等算术,通过哥德尔编码法,我们依然可以构造出类似“说谎者”悖论的语句。

  假设是一个丰富到足以包含皮亚诺算术的形式语言,直接讨论的是自然数及其相关性质。哥德尔发现,如果我们对的每个符号进行编码(即选取特定的自然数与之对应),进而对每个符号串和符号串的序列进行编码,这样我们常用的语法范畴,如常项、变元、词项、谓词、公式、公式序列、公理、定理和证明等,都可以进行编码。通过如此编码后,我们可以把原本谈论自然数的语句,看作是在间接谈论被这些自然数编码的符号、符号串和符号串序列。而上面列出的语法范畴,都在这些被编码的符号、符号串和符号串序列之中。也就是说,在语言中,我们可以通过谈论自然数及其相关的性质,间接地谈论语言自身的语法。如果一个形式语言丰富到足以包含皮亚诺算术,我们就称该语言具有“语法的丰富性”。在证明著名的“第一不完全性定理”的过程中,哥德尔证明了“对角线引理”。我们可以直观地把这个引理理解为:给定一性质A,我们可以构造出一个语句D,声称它自身具有性质A,并且D和A([D])是等值的。其中,[D]是“D的名称”,A([D])表示“D具有性质A”。在哥德尔提出对角线引理之后不久,塔尔斯基根据该引理推导出了算术真理的不可定义性定理。这一定理表明,任何一个一致的包含足够丰富的算术的形式语言,不能一致地包含自身的真谓词。

  在推导出这一结论的过程中,需要使用一个被称为“朴素真理原则”的规则。上面从“说谎者”语句推出矛盾的过程中也使用了这一规则。朴素真理原则有三种不同的表述方式:第一种表述方式是塔尔斯基的T-等值式:(T)“[P]是真的”当且仅当P。其中,“P”是任意语句,“[P]”是语句P的名称。第二种表述方式是把它当作“T-引入规则”和“T-消去规则”这两个推理规则的总称。“T-引入规则”说的是:任意语句P,我们可以从语句P推出语句“[P]是真的”;“T-消去规则”说的则是:从语句“[P]是真的”,我们可以推出语句P。第三种表述方式是关于真的“等值替换规则”。这一规则是说,语句P与语句“P是真的”之间总是可以相互替换,但不会影响整个语句的真值。

  根据朴素真理原则,对任意语句P,语句“[P]是真的”和语句P应该是等值的,可以相互替换或者相互推出。而塔尔斯基不可定义性定理告诉我们,在上述条件下我们无法一致地保持朴素真理原则成立。哥德尔的对角线引理和塔斯基的(算术真理的)不可定义性定理,是我们在讨论语义悖论过程中所必须要面对的重要结果。根据上述定理,我们观察到,语法丰富性、朴素真理原则和经典逻辑,这三个因素结合在一起就会导致不一致。语法的丰富性,使得我们可以在语言中构造出说谎语者语句L,使得L满足:L当且仅当“[L]不是真的”。其中,“[L]”是语句L的名称。这一条件是说,L和“[L]不是真的”是等值的。朴素真理原则要求,对任意语句P,它和语句“[P]是真的”满足T等值式并且可以相互替换或相互推出。经典逻辑则为我们提供了由说谎者语句推出矛盾所需要的推理规则,如排中律、爆炸原则、析取原则和附加原则。

  既然语法丰富性、朴素真理原则和经典逻辑三者同时成立会导致不一致,那么其中至少有一个是有问题的,需要将其放弃或者进行修改。首先,我们似乎无论如何都不能放弃语法的丰富性,因为我们的语言至少应该能够谈论最基本的算术。其次,朴素真理原则与我们关于自然语言中“真”这一概念的直觉相符,直觉上我们认为它应该是成立的。很难想象“‘雪是白的’是真的当且仅当雪是白的”不成立的情况。再者,经典逻辑是逻辑系统的典范,是最“正统”、最“标准”的逻辑系统,如果不是基于某些特定的哲学立场,或是出于某些特别的目的,我们似乎也不应该放弃经典逻辑。

  任何一个试图真正解决语义悖论的方案,都需要面对上面的结论并回答:我们所讨论的语言语法丰富性如何?是否承认朴素真理原则?是否采用经典逻辑?对这些问题的不同回答,将把这些方案划分为不同的派别。以塔尔斯基、伯奇和古普塔为代表的逻辑学家主张保留经典逻辑,对朴素真理原则进行修改和限制,其方案被称为经典逻辑解决方案。以克里普克、菲尔德和普里斯特为代表的逻辑学家则主张保留朴素真理原则,修改经典逻辑,其方案被称为非经典逻辑解决方案。

 

  (本文系国家社科基金重大项目“广义逻辑悖论的历史发展、理论前沿与跨学科应用研究”(18ZDA031)阶段性成果)

  (作者单位:中国人民大学哲学院)

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姓名:尹嘉 杨武金 工作单位:

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